Чему равен неопределённый интеграл от модуля?

Неопределенный интеграл от модуля функции не может быть выражен в виде элементарных функций, так как модуль является нелинейной функцией и его график имеет точку разрыва. В случае, когда интеграл от модуля задается на конкретном интервале, его можно разбить на несколько частей в зависимости от знака функции внутри модуля.

Рассмотрим, например, интеграл от модуля функции f(x):

∫ |f(x)| dx

Если f(x) ≥ 0 на заданном интервале [a, b], то выражение в модуле можно оставить без изменений:

∫ f(x) dx

Если f(x) < 0 на интервале [a, b], то модуль можно выразить с помощью отрицания функции:

∫ -f(x) dx

Для работы с такими интегралами можно использовать стандартные методы, такие как метод замены переменной или метод интегрирования по частям. Однако, необходимо учитывать, что полученное выражение будет содержать постоянную интегрирования, так как неопределенный интеграл от модуля функции не может быть выражен в виде элементарных функций.

Например, рассмотрим неопределенный интеграл от модуля функции f(x) = x:

∫ |x| dx

В данном случае, так как функция x меняет знак в нуле, интеграл можно разделить на две части:

∫ x dx, при x ≥ 0
∫ -x dx, при x < 0

Вычислив каждый из интегралов, получим:

∫ |x| dx = (x^2)/2 + C1, при x ≥ 0
∫ |x| dx = (-x^2)/2 + C2, при x < 0

где С1 и С2 - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл от модуля функции зависит от знака функции внутри модуля и требует разбиения на части для дальнейшего вычисления. Результатом будет выражение с постоянными интегрированиями.