Как найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой y=x(2-x)?

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой y=x(2-x), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начнем с построения графика параболы y=x(2-x) на плоскости. Это можно сделать, заметив, что уравнение параболы имеет вид у=y∙(2-y), что подсказывает нам форму «воронки». Построим график, отметив основные точки, такие как вершина параболы (когда y=1), асимптоты (ось Oy), и основные нули (когда y=0 или y=2). Таким образом, мы можем визуализировать область, ограниченную осью Ох и параболой.

2. Следующим шагом будет вычисление точек пересечения параболы с осью Ох. Для этого решим уравнение y=x(2-x)=0, которое даст нам корни x=0 и x=2. Таким образом, фигура, ограниченная параболой и осью Ох, будет располагаться между точками x=0 и x=2 на оси Ох.

3. Затем нам необходимо найти уравнение параболы в виде функции y(x). Для этого решим уравнение y=x(2-x) относительно y, получив y=2x-x^2. Таким образом, у нас теперь есть функция y(x), описывающая параболу.

4. Далее, для нахождения площади фигуры между параболой и осью Ох, мы можем воспользоваться определенным интегралом. Нам нужно вычислить определенный интеграл от функции y(x)=2x-x^2 в пределах от x=0 до x=2, так как это границы области. Интеграл будет иметь вид ∫[0;2] (2x-x^2)dx.

5. После вычисления определенного интеграла мы получим числовое значение, которое и будет представлять собой площадь фигуры, ограниченной параболой y=x(2-x) и осью Ох. Это число покажет нам, какая часть плоскости занимается данная фигура.

Таким образом, следуя этим шагам, мы сможем найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой y=x(2-x).