Поддерживают или потдержевают? Как писать правильно? Почему так?

Правильно писать "поддерживают".

1. Правописание слова "поддерживают" обусловлено морфологическими правилами русского языка. 
2. Глагол "поддерживать" образован от слова "поддержка", поэтому в форме множественного числа в настоящем времени у него будет окончание "-ют".
3. В русском языке множественное число глаголов в настоящем времени для лица третьего лица (они) образуется при помощи окончания "-ют" или "-ат". 
4. Окончание "-ю-" в слове "поддерживают" указывает на то, что речь идет о третьем лице множественного числа (они).
5. Например, правильно будет сказать: "Они поддерживают своих товарищей в трудную минуту". 
6. При образовании форм глагола в различных временах и наклонениях, а также в различных лицах и числах необходимо учитывать правила окончаний и согласования глаголов с подлежащим.
7. В данном случае, глагол "поддерживать" стоит в форме настоящего времени, множественного числа, третьего лица, поэтому пишется с окончанием "-ют".
8. Важно соблюдать правила правописания не только из эстетических соображений, но и для того, чтобы правильно и ясно выражать свои мысли на письме.