Как решить: Большой кубик склеен из маленьких кубиков. В нём просверлили..?

Для того чтобы правильно ответить на вопрос о том, сколько маленьких кубиков осталось неповреждёнными в большом кубике после того, как в нём были просверлены три дырки, следует разобраться в некоторых аспектах задачи. Начнём с анализирования исходных данных и продолжим, учитывая все детали.

1. Определение структуры кубика

Предположим, что большой кубик состоит из маленьких кубиков с длиной ребра 1 (например, размером 1x1x1). Пусть размер большого кубика равен \( n \times n \times n \), где \( n \) — количество маленьких кубиков по одной стороне большого куба. Общее количество маленьких кубиков в большом кубе составляет:

\[ N = n^3 \]

2. Понимание процесса сверления

Когда мы говорим о том, что в большом кубе просверлили три дырки, важно уточнить следующее:
- Дырки проходят в разные направления по граням куба. Предположим, дырки просверлены вдоль осей X, Y и Z. 
- Каждая дырка проникает через весь объем, начиная с одной грани и заканчивая на противоположной.

3. Анализ неповреждённых кубиков

Давайте теперь разберёмся, сколько маленьких кубиков пострадало от процесса сверления. Из условия следует:

- Каждая дырка проходит через ряд кубиков, если представить себе, что, например, дырка по оси X проходит через все слои, в то время как дырки по осям Y и Z также воздействуют на разные слои.
  
4. Подсчёт повреждённых кубиков

Когда возникает дырка вдоль оси X, она затрагивает каждый маленький кубик, лежащий на этой оси в диапазоне от 1 до n. Аналогично, это происходит и для осей Y и Z. 

Точка пересечения:
- В процессе сверления учитываются только те кубики, которые находятся непосредственно на линии прохода дырок. Но при этом учтём, что в месте пересечения трёх дырок может быть затронут один и тот же кубик.

**Расчёт повреждённых кубиков:**
- Если размер большого куба — \( n \):
  - На каждой оси (например, X, Y, Z) будет затронуто по \( n \) кубиков.
  - Всего разбиение делится так, что: 
    \[
    Дырки_X + Дырки_Y + Дырки_Z - Дырки_{XY} - Дырки_{XZ} - Дырки_{YZ} + Дырки_{XYZ}
    \]
    
  - Если принять \( n \): 
    \[
    3n - 3(n-1) + 1 = 3n - 3n + 3 + 1 = 1
    \]

Значит, каждая ось затрагивает определённое количество кубиков, но перекрытия также могут иметь место.

5. Вывод

Чтобы окончательно подсчитать количество повреждённых маленьких кубиков:

- Считаем все кубики, которые задеваются, исключаем дублирующие пересечения и учитываем пересечения по трём осям.

Наконец, чтобы определить количество неповреждённых кубиков, вычтем общее количество повреждённых кубиков из общего количества \( N \).

Итак, в завершение, после всех вышеперечисленных шагов, вы можете определить, сколько маленьких кубиков в вашем большом кубе осталось неповреждёнными. Это помимо чисто арифметической части задачи требует серьёзного пространственного мышления и понимания объёмного строения, что важно при работе с кубическими структурами.