Как решить: Цифра десятков задуманного числа на 5 больше цифры единиц?

Давайте шаг за шагом разберёмся с загадочным двузначным числом, которое задумал Виталий.

### Шаг 1: Определение условий задачи

Итак, у нас есть двузначное число, и нам известны два условия:
1. Цифра десятков на 5 больше цифры единиц.
2. Если разделить число на произведение его цифр, то частное равно 3, а остаток равен 11.

### Шаг 2: Обозначение переменных

Обозначим:
- Цифру единиц как \( x \).
- Цифру десятков как \( y \).

С учетом первого условия мы можем записать:
\[ y = x + 5 \]

Так как мы имеем дело с двузначным числом, \( x \) принимает значения от 0 до 9, но \( y \) должна быть цифрой (от 1 до 9). Здесь есть важное ограничение:
- Для того чтобы \( y \) была в пределах от 1 до 9, \( x \) может быть только 0, 1, 2, 3, или 4. Иначе \( y \) станет больше 9.

### Шаг 3: Подставим значения и найдем возможные пары \( (x, y) \)

С учетом ограничения на значение \( x \):
- Если \( x = 0 \), то \( y = 5 \) → число: 50
- Если \( x = 1 \), то \( y = 6 \) → число: 61
- Если \( x = 2 \), то \( y = 7 \) → число: 72
- Если \( x = 3 \), то \( y = 8 \) → число: 83
- Если \( x = 4 \), то \( y = 9 \) → число: 94

### Шаг 4: Подставляем во второе условие

Теперь нам нужно проверить каждую пару на выполнение второго условия. Двузначное число можно выразить как \( 10y + x \), а произведение его цифр как \( y \cdot x \).

По второму условию:
\[ \frac{10y + x}{y \cdot x} = 3 + \frac{11}{y \cdot x} \]

Следовательно, можно записать уравнение:
\[ 10y + x = 3(y \cdot x) + 11 \]

### Шаг 5: Проверяем каждую пару

Теперь проверим каждую пару \( (x, y) \):

1. **Для \( (0, 5) \)**:
   \[
   10 \cdot 5 + 0 = 50 \quad \text{и} \quad 5 \cdot 0 = 0 \quad \text{(деление на 0 невозможно)}
   \]

2. **Для \( (1, 6) \)**:
   \[
   10 \cdot 6 + 1 = 61 \quad \text{и} \quad 6 \cdot 1 = 6
   \]
   \[
   61 = 3 \cdot 6 + 11 \quad \Rightarrow \quad 61 = 18 + 11 = 29 \quad \text{(не выполняется)}
   \]

3. **Для \( (2, 7) \)**:
   \[
   10 \cdot 7 + 2 = 72 \quad \text{и} \quad 7 \cdot 2 = 14
   \]
   \[
   72 = 3 \cdot 14 + 11 \quad \Rightarrow \quad 72 = 42 + 11 = 53 \quad \text{(не выполняется)}
   \]

4. **Для \( (3, 8) \)**:
   \[
   10 \cdot 8 + 3 = 83 \quad \text{и} \quad 8 \cdot 3 = 24
   \]
   \[
   83 = 3 \cdot 24 + 11 \quad \Rightarrow \quad 83 = 72 + 11 = 83 \quad \text{(выполняется)}
   \]

5. **Для \( (4, 9) \)**:
   \[
   10 \cdot 9 + 4 = 94 \quad \text{и} \quad 9 \cdot 4 = 36
   \]
   \[
   94 = 3 \cdot 36 + 11 \quad \Rightarrow \quad 94 = 108 + 11 = 119 \quad \text{(не выполняется)}
   \]

### Шаг 6: Ответ

Таким образом, единственное число, которое удовлетворяет всем условиям — это число **83**.

**Вывод:** Виталий задумал число 83, где цифра десятков (8) на 5 больше цифры единиц (3).