Как решить: В конусе просверлили сквозное отверстие, радиус в 4 р. меньше?

Чтобы решить задачу о конусе с просверленным отверстием, мы можем следовать нескольким шагам. Это поможет понять геометрию фигуры и выполнить необходимые вычисления.

### Шаг 1: Понимание условий задачи

В условии говорится, что у нас есть конус, объем которого равен 32. Нам также сказано, что радиус отверстия в конусе в 4 раза меньше, чем радиус его основания. Из этого следует, что если обозначить радиус основания конуса как \( R \), то радиус отверстия будет \( r = \frac{R}{4} \).

### Шаг 2: Формула объема конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

\[
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h
\]

где:
- \( V \) — объем конуса,
- \( R \) — радиус основания,
- \( h \) — высота конуса.

### Шаг 3: Подставим известные значения

Из условия задачи нам известен объем конуса (32):

\[
\frac{1}{3} \pi R^2 h = 32
\]

Для дальнейших вычислений нужно выразить \( h \) через \( R \):

\[
h = \frac{96}{\pi R^2}
\]

### Шаг 4: Объем цилиндрического отверстия

Теперь вычислим объем цилиндрического отверстия, которое просверлено в конусе. Объем цилиндра можно найти по формуле:

\[
V_{отв} = \pi r^2 h_{отв}
\]

где \( h_{отв} \) — высота цилиндрического отверстия. Поскольку отверстие просверлено до основания, его высота равна высоте конуса \( h \).

Подставим радиус отверстия \( r \) и известное \( h \):

\[
V_{отв} = \pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 h = \pi \left(\frac{R^2}{16}\right) h
\]

### Шаг 5: Подставляем значение высоты

Теперь подставим \( h \) в выражение для объема отверстия:

\[
V_{отв} = \pi \left(\frac{R^2}{16}\right) \left(\frac{96}{\pi R^2}\right)
\]

Сократим \( \pi \) и \( R^2 \):

\[
V_{отв} = \frac{96}{16} = 6
\]

### Шаг 6: Объем фигур

Теперь у нас есть объем исходного конуса и объем выдолбленного отверстия. Чтобы найти объем полученной фигуры (конус с отверстием), необходимо вычесть объем отверстия из объема конуса:

\[
V_{конус с отверстием} = V_{конуса} - V_{отв}
\]

Подставим известные значения:

\[
V_{конус с отверстием} = 32 - 6 = 26
\]

### Итог

Таким образом, объем полученной фигуры, после сверления отверстия в конусе, равен 26.

#### Дополнительные моменты для размышления:

1. Важно обратить внимание на отношение радиусов: меньший радиус делает отверстие более "тонким", и это позволяет заметить, как такие изменения влияют на объем.
2. Все значения сделаны для симметричного конуса: радиус основания и высота связаны между собой и могут показаться неочевидными на первом этапе.
3. В задачах подобного типа полезно четко записывать формулы и внимательно следить за единицами измерения.