В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 4 , sinA =√19/10. Чему равна AC?

Чтобы найти длину стороны AC в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, AB = 4 и sinA = √19/10, можно следовать следующему пошаговому подходу:

Шаг 1: Определение сторон треугольника

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C, который равен 90°, сторона AB является гипотенузой, а стороны AC и BC – катетами. Мы можем обозначить:

- AC = a (то есть, нам нужно найти а)
- BC = b
- AB = c = 4

Шаг 2: Использование синуса угла A

Согласно определению синуса, синус угла A равен отношению длины противолежащего катета (то есть, BC) к длине гипотенузы (AB):

sin(A) = BC / AB

Подставим известные значения:

√19/10 = b / 4

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь мы решаем это уравнение для b:

b = 4  (√19/10) 

Это упрощается до:

b = (4  √19) / 10 

Шаг 4: Использование теоремы Пифагора

Теперь, когда мы нашли сторону b (BC), мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти сторону a (AC). Теорема Пифагора гласит:

c² = a² + b²

Где c — это гипотенуза (AB), a — один катет (AC), b — другой катет (BC).

Подставляем известные значения:

4² = a² + ((4  √19) / 10)²

Это упрощается до:

16 = a² + (16  19) / 100

или:

16 = a² + 304 / 100

Теперь преобразуем 16 к дроби с тем же знаменателем:

16 = 1600 / 100

Теперь подставим это в уравнение:

1600/100 = a² + 304/100

Шаг 5: Преобразование уравнения

Приведем уравнение к следующему виду:

1600/100 - 304/100 = a²

Это упрощается до:

1296/100 = a²

Теперь мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон:

a = √(1296/100)

Теперь, упрощая:

a = √1296 / √100

a = 36 / 10

Это дает нам:

a = 3.6

Итог

Таким образом, длина стороны AC (то есть катета AC) в треугольнике ABC составляет 3.6 единиц. Мы использовали важные тригонометрические понятия и теорему Пифагора для решения задачи. Это не только позволяет нам вычислить длину стороны, но и способствует лучшему пониманию связей в прямоугольных треугольниках. 

Геометрия и тригонометрия – это прекрасно увлекательные области математики, где каждый элемент играет важную роль в понимании пространственных отношений.