Какое максимальное кол-во простых чисел мог написать Петя?

Чтобы разобраться, какое максимальное количество простых чисел мог написать Петя так, чтобы сумма любых трех из этих чисел также была простым числом, давайте проанализируем некоторые аспекты задачи.

1. Простые числа и их свойства
Простые числа — это такие числа, которые больше единицы и имеют ровно два делителя: единицу и само себя. В первый момент стоит отметить, что простыми числами являются нечетные числа (такие как 3, 5, 7 и т.д.), за исключением самого маленького простого числа — двойки.

2. Сумма трех чисел
Пусть Петя написал на доске n простых чисел. Если он напишет хотя бы одно четкое число (например, двойку), то мы можем заметить следующее:

- Если у нас есть одна двойка и три других нечетных простых, сумма трех чисел будет четным числом (даже + 2 остается четным), а четное число может быть простым только в том случае, если оно равно 2. Но в этом случае мы получим сумму больше 2. Значит, такой вариант не подойдет.

3. Все числа нечетные
Следовательно, если среди n чисел нет двойки, то все числа должны быть нечетными. В этом случае сумма любых трех нечетных чисел будет нечетным числом, и, следовательно, может быть простым.

4. Все числа должны быть одинаковыми
Теперь давайте подумаем, какие простые числа мы можем взять. Если Петя написал 3 одинаковых простых числа p, то сумма 

p + p + p = 3p. 

3p является простым, только если p равно 3, так как любое другое простое число, умноженное на 3, дает составное число. 

5. Предположим, что все числа равны 3
Если все числа – тройки, то сумма любых трех будет всегда 9, что не является простым. Получается, что Петя не может писать три числа, равных 3. 

6. Поиск множества чисел
Теперь давайте воспользуемся следующим методом: пусть Петя напишет k чисел (1 < k < n), причем эти числа – 3 и 5 (он может писать числа разное количество раз).

# Ваши 3 числа:
- Если у нас есть 1 тройка и 2 пятерки, то сумма 3 + 5 + 5 = 13 (простое).
- Если 2 тройки и 1 пятерка, то сумма 3 + 3 + 5 = 11 (простое).

Таким образом, существует много комбинаций, и мы можем до определенной степени упростить задачу.

7. Окончательный ответ
Мы заключаем, что наиболее целесообразным вариантом будет взять только два различных простых числа: 3 и 5. ...

По итогу, максимальное количество чисел, которое мог написать Петя на доске, равно - 3. 

Вот один из возможных наборов на доске:
- 3, 3, 5

Таким образом, если было бы больше чисел, необходимо было бы учитывать возможность, что сумма любой тройки также должна оставаться простым числом.