Как решить: Дима пошел гулять по квадрату 200×200 от правого верхнего угла?

Чтобы определить длину пути, который Дима проходит по квадрату размером 200×200, будем следовать описанному маршруту по аналогии с тем, как это сделано на более мелкой доске, например, 8×8. Разделим задачу на несколько этапов:

1. Определение стартовой позиции:
Дима начинает свой путь из правого верхнего угла, который в нашей модели можно обозначить как клетка (1, 200). 

2. Направление движения:
Дима движется следующим образом:
- Сначала он идёт влево по верхнему ряду (строка 200).
- Затем поворачивает налево и идёт вниз.
- Ещё раз поворачивает налево и идёт вправо.
- И так далее, пока не достигнет центра квадрата.

3. Координаты и размер центрального квадрата:
Для доски размером 200×200 у нас есть четыре центральные клетки. Поскольку 200 - чётное число, центральная область будет определяться клетками:
- (100, 100)
- (100, 101)
- (101, 100)
- (101, 101)

4. Параметры движения:
Мы можем заметить, что ни в одной итерации Дима не покидает границы квадрата, и на каждой итерации он проходит по одной линии по своему маршруту, который соответствует боковым границам квадратов меньшего размера. Длина пути будет определяться количеством целых клеток, которые он пересекает от одного угла квадрата к другому.

5. Расчет маршрута:
Определим общий шаблон движения:
- На каждом «круге» он проходит клетки, которые можно подсчитать:
  - Сначала проходит по верхнему ряду одну клетку, затем вниз, затем в сторону, затем вверх.
  - С каждым новым «раундом» количество проходящих клеток уменьшается.

Длина пути можно выразить через количество «кругов», проходя по границе уменьшенного квадрата. Формула для количества клеток, которые проходит Дима:

\
\text{Длина пути} = 4 \cdot n
\

где n - это количество «кругов», которые он проходит, соответствующих размеру оставшегося квадрата. 

6. Определяем количество кругов:
Для 200×200 доски:

- Первый круг: 200 клеток,
- Второй круг: 198 клеток,
- Третий круг: 196 клеток,
- Заметим, что мы продолжаем до тех пор, пока не дойдём до центральной части.

7. Подсчет по шагам:
Количество шагов для каждого «круга»:
- 200 + 198 + 196 + ... + 2 (так как на последнем круге он будет проходить один раз по каждой стороне).

Можно выразить это через сумму арифметической прогрессии. Конечная формула для суммы:

\
S = \frac{n}{2} \cdot (a + b)
\

где n - количество членов, a - первый член, b - последний член.

Подставив:
- n = 100 (число сторон, проходящих от 200 до 0)
- a = 200
- b = 2

Итак,

\
S = \frac{100}{2} \cdot (200 + 2) = 50 \cdot 202 = 10100
\

Итого:
Длина пути, который проходит Дима, составляет 10100 клеток. Это величина учитывает все проходы по границам квадратов и соотношение по углам, что позволяет правильно учитывать все маршруты, пока он не дойдёт до центральных клеток. 

Таким образом, ответ: *10100 сантиметров или клеток* - именно такое расстояние преодолевает Дима, гуляя по квадрату.