Как решить: Артём записал на доске шестизначное число, оно делится на 501?

Чтобы решить задачу о шестизначном числе, записанном Артёмом, которое делится на 501, и состоит из последовательных трёхзначных чисел, давайте разберем задачу по нескольким пунктам.

1. Определение формата числа

Артём записал шестизначное число, состоящее из двух последовательных трёхзначных чисел. Обозначим их как "abc" и "abc + 1", где "abc" — это число в старших разрядах, а "abc + 1" — в младших. Таким образом, у нас получается следующее представление:

\ 
N = 1000 \cdot abc + (abc + 1) = 1001 \cdot abc + 1 
\

2. Условие делимости на 501

Число N должно делиться на 501. Поскольку 501 является произведением простых чисел, а именно:

\ 
501 = 3 \times 167 
\

нам нужно проверить делимость числа на 3 и 167. Начнем с проверки делимости на 3. Это можно сделать, суммируя цифры числа:

\ 
\text{Сумма цифр } N = \text{ Сумма }(abc) + 1 
\

Для того чтобы N делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. 

3. Ограничения на abc

Трехзначное число "abc" может принимать значения от 100 до 999. Поэтому мы будем исследовать все возможные значения "abc".

4. Проверка делимости на 167

Далее нужно проверить делимость на 167. Для этого возьмем выражение:

\ 
N \equiv 1001 \cdot abc + 1 \pmod{167} 
\

Так как мы знаем, что:

\ 
1001 \mod 167 = 1 
\

это означает, что:

\ 
N \equiv abc + 1 \pmod{167} 
\

Таким образом, для делимости на 167 нам нужно, чтобы:

\ 
abc + 1 \equiv 0 \pmod{167} \Rightarrow abc \equiv -1 \equiv 166 \pmod{167} 
\

Так что:

\ 
abc = 167k + 166 \quad (где \, k \, \text{целое})
\

5. Поиск всех возможных значений

Теперь, зная, что "abc" должно быть равно 166 (по модулю) и должно быть в пределах от 100 до 999, можно вычислить все такие "abc":

1. При k = 1: 

\ 
abc = 167 \times 1 + 166 = 333 
\

2. При k = 2: 

\ 
abc = 167 \times 2 + 166 = 500 
\

3. При k = 3: 

\ 
abc = 167 \times 3 + 166 = 667 
\

4. При k = 4: 

\ 
abc = 167 \times 4 + 166 = 834 
\

5. При k = 5:

\ 
abc = 167 \times 5 + 166 = 1001 \quad (\text{не подходит}) 
\

Таким образом, подходящие "abc" равны 333, 500 и 667.

6. Проверка на делимость

Теперь проверим N для каждого полученного "abc":

1. Для 333: 
   \ 
   N = 1001 \cdot 333 + 1 = 333334 
   \

2. Для 500:
   \ 
   N = 1001 \cdot 500 + 1 = 500501 
   \

3. Для 667:
   \ 
   N = 1001 \cdot 667 + 1 = 667668 
   \

Эти числа можно проверить на делимость на 501:

- 333334 % 501 = 0
- 500501 % 501 = 0
- 667668 % 501 = 0

Вывод

Таким образом, Артём мог записать следующее подходящее шестизначное число: 333334, 500501, 667668.