Как решить: Петя покрасил 100 чисел в красный цвет и 100 других в синий?

Чтобы разобраться с задачей, давайте поэтапно анализировать информацию и формулы, которые нам даны.

Шаг 1: Понимание исходных данных

У нас есть два типа натуральных чисел:
- 100 чисел, окрашенных в красный цвет, обозначим их как R = {r1, r2, ..., r100}.
- 100 чисел, окрашенных в синий цвет, обозначим их как B = {b1, b2, ..., b100}.

Шаг 2: Формулы для каждого числа

Для каждого красного числа n мы записываем выражение:

- x^(n) / (1 - x)

И для каждого синего числа m мы записываем выражение:

- x^(m) / (1 - x - 1) = x^(m) / (-x)

Теперь соберем все выражения в одно:

1. Сумма для красных числе:

\
\text{Красные выражения} = \sum_{i=1}^{100} \frac{x^{r_i}}{1 - x}
\

2. Сумма для синих числа:

\
\text{Синие выражения} = \sum_{j=1}^{100} \frac{x^{b_j}}{-x} = -\sum_{j=1}^{100} \frac{x^{b_j}}{x} = -\sum_{j=1}^{100} x^{b_j - 1}
\

Шаг 3: Объединение выражений

Теперь объединим все выражения, чтобы получить итоговое выражение:

\
S = \sum_{i=1}^{100} \frac{x^{r_i}}{1 - x} - \sum_{j=1}^{100} x^{b_j - 1}
\

Шаг 4: Формат итогового выражения

1. Первая часть:

\
\sum_{i=1}^{100} \frac{x^{r_i}}{1 - x} \text{ является многочленом от } x
\

Обратите внимание, что каждый x^(r_i) / (1 - x) можно интерпретировать как геометрическую прогрессию, которая суммируется в пределах, описанных нашим выражением.

2. Вторая часть:

\
-\sum_{j=1}^{100} x^{b_j - 1} \text{ также является многочленом от } x
\

Это за счет того, что сумма конечного числа членов с фиксированными степенями x всегда является многочленом.

Шаг 5: Итог

Поскольку суммирование двух многочленов дает многочлен, то выражение S является многочленом от x. 

Заключение

Таким образом, мы можем утверждать, что после выполнения всех операций и преобразований Петя и Вася получили многочлен от x. Объединенные выражения, исходя из их форм и свойств, показывают, что итоговое выражение S не содержит делений на переменные (как в случае с дробями), что подтверждает, что оно действительно является многочленом. 

Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо разъяснить определенные моменты, не стесняйтесь спрашивать!