Как решить такую систему 3 уравнений с параметром?

Для решения системы уравнений с параметром, нужно тщательно проанализировать каждое из уравнений и выявить условия, при которых система имеет единственное решение. Давайте рассмотрим каждое из уравнений в вашей системе и выполним шаги по их анализу.

1. **Первое уравнение:** 

   (x + 2)^2 + 2(a + 2y) + y^2 + z^2 = 0

   Это уравнение представляет собой сумму квадратов, которая всегда неотрицательна. Сумма может равняться нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. То есть:
   
   - (x + 2)^2 = 0  →  x = -2
   - y^2 = 0         →  y = 0
   - z^2 = 0         →  z = 0
   - 2(a + 2y) = 0 → 2(a + 0) = 0  → a = 0

   Однако, поскольку y равно 0, это равенство не дает новых ограничений. Таким образом, из первого уравнения следует, что единственное решение будет, если x = -2, y = 0 и z = 0, при a = 0. 

2. **Второе уравнение:**

   (2 + xyz^2 * √(1 - 2xy))*(a * sin^2(z) + x + y) = 0

   Это уравнение произведения. Оно равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

   - Первый множитель: 2 + xyz^2 * √(1 - 2xy) = 0. Но этот случай невозможен, так как 2 всегда положительно.
   - Второй множитель: a * sin^2(z) + x + y = 0. Подставим синусы от 0, тогда у нас получится: a + x + y = 0 → a = - (x + y)

3. **Третье уравнение:**

   (xy + 1)*tg(x + y) + cos(x - y) = 1

   Для этого уравнения нужно рассмотреть также возможные значения x и y. На первом этапе можем поставить x = 0, y = 0:

   (0*0 + 1) * tg(0 + 0) + cos(0 - 0) = 1  →  1 * 0 + 1 = 1, это выполняется.

Теперь соберем все найденные условия:
- Мы получили условия x = 0, y = 0, z = 0, что согласуется с первым уравнением, а также – каким образом связаны a, x и y из второго уравнения (a = - (x + y)).
- Мы подтвердили, что при x = 0, y = 0, z = 0 – оба условия выполняются, и a тоже окажется равным -2.

Резюме:

- Подытожим: единственным решением системы является (x, y, z) = (0, 0, 0) при a = -2.
- Все остальные значения a, приведенные к системным уравнениям, не дают простой линейной зависимости и могут привести к множеству решений.

Таким образом, единственное a, при котором система уравнений имеет единственное решение, – это a = -2.