Как решить уравнение 1/x + 1/y = 1/15?

Чтобы решить уравнение 

1/x + 1/y = 1/15, 

где x и y принадлежит множеству натуральных чисел (N), мы можем воспользоваться пошаговым подходом.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Первым делом, давайте преобразуем уравнение. Мы можем выразить левую часть уравнения так, чтобы получить общий знаменатель. Умножив обе стороны на 15xy, мы имеем:

15y + 15x = xy.

Шаг 2: Перегруппировка уравнения
Теперь давайте перенесем все члены в одну сторону:

xy - 15x - 15y = 0.

Это уравнение можно переписать в более удобной форме:

xy - 15x - 15y + 225 = 225.

Мы добавили и вычли 225, чтобы упростить последующее факторизование.

Шаг 3: Факторизация
Теперь мы можем факторизовать уравнение:

(x - 15)(y - 15) = 225.

Это форма уравнения, которая говорит нам, что произведение (x - 15) и (y - 15) должно равняться 225. Как только мы найдем все пары множителей 225, мы сможем определить возможные значения для x и y.

Шаг 4: Найдем множители числа 225
Теперь давайте разложим число 225 на множители:

225 = 1 * 225  
225 = 3 * 75  
225 = 5 * 45  
225 = 9 * 25  
225 = 15 * 15. 

У нас есть следующие пары множителей: (1, 225), (3, 75), (5, 45), (9, 25), (15, 15).

Шаг 5: Определение значений x и y
Каждая пара (a, b) может быть использована для нахождения x и y. Мы знаем, что:

x - 15 = a, 
y - 15 = b.

Теперь мы можем выразить x и y как:

x = a + 15, 
y = b + 15.

Теперь подставим все найденные пары:

1. (1, 225): 
   x = 1 + 15 = 16, 
   y = 225 + 15 = 240.

2. (3, 75): 
   x = 3 + 15 = 18, 
   y = 75 + 15 = 90.

3. (5, 45): 
   x = 5 + 15 = 20, 
   y = 45 + 15 = 60.

4. (9, 25): 
   x = 9 + 15 = 24, 
   y = 25 + 15 = 40.

5. (15, 15): 
   x = 15 + 15 = 30, 
   y = 15 + 15 = 30.

Шаг 6: Проверка совпадений
Таким образом, возможные натуральные решения (x, y) уравнения 1/x + 1/y = 1/15:

- (16, 240)  
- (18, 90)  
- (20, 60)  
- (24, 40)  
- (30, 30)  

Шаг 7: Итог
Мы получили все возможные пары (x, y), которые удовлетворяют данному уравнению, и все они принадлежат множеству натуральных чисел N. Как видите, данный метод эффективно работает, и с его помощью можно найти множество решений для различных подобных уравнений.