Задача. Сколько корней в начале битвы было у злого волшебника Роголеба?

Чтобы выяснить, сколько корней было у злого волшебника Роголеба, давайте разберем всю ситуацию по пунктам, учитывая действия Ивана сына Ильи Муромца в битве.

1. **Первые 177 ударов**: 
   Иван рубил корни злого волшебника по 15 корней за раз. Таким образом, за 177 ударов он срубил:
   
   177 * 15 = 2655 корней.

2. **Следующие удары**:
   После 177 удара меч потерял силу, и Иван стал рубить по 14 корней за раз. Допустим, что он рубил еще "N" раз, прежде чем остался последний корень. Каждый удар после 177 будет уменьшать количество корней. Мы знаем, что в конечном итоге у Роголеба остался только один корень.

3. **Финальная битва**:
   Когда у Роголеба остался последний корень, Иван, не имея сил рубить, просто отгрыз его. Это говорит о том, что до последнего удара у Роголеба было два корня: один, который он отгрыз, и один – последний.

4. **Обозначим удары после 177 как N**:
   Теперь мы можем записать уравнение для корней, оставшихся после 177 ударов и последующих N ударов. Итак, первоначальное количество корней "X" будет равно:

   X = 2655 (срубленные корни) + 14 * N + 1 (последний корень).

5. **Формула**:
   Объединим все части воедино:
   
   X = 2655 + 14 * N + 1.

   Это уравнение показывает, что общее количество корней до начала битвы складывается из первых 2655 срубленных корней, N ударов по 14 корней и одного корня, который остался в конце.

6. **Сколько осталось корней до последнего удара**:
   Мы знаем, что в итоге осталось 1 корень. Это означает, что как только Иван срубает последний корень (14-ым ударом), у Роголеба было не менее 1 корня. Если бы не было корней, он бы не смог отгрызть его.

7. **Проведем ещё один шаг**:
   Так как мы знаем, что после последнего удара (N) также давало 1 корень, можно подставить N, чтобы посчитать количество корней:

   Если останется 1 корень, значит N ударов по 14 должны быть равны на количество корней, которые были за 177 удара:

   14 * N = X - 2655 - 1,
   значит, X = 2655 + 14 * N + 1.

8. **Результирующее количество корней**:
   Если N не превышает число оставшихся корней, подставляя значения, мы можем найти общее количество корней. Более конкретно, N не может быть более (X - 2656)/14 и при этом X всегда останется больше.

Теперь, подсчитаем возможный вариант значения N, чтобы X стало целым числом.

9. **Работа с уравнением**:
   Если мы стремимся к n = 1, X = 2655 + 14 * 1 + 1 = 2670,
   и если n = 2, X = 2655 + 14 * 2 + 1 = 2684.

   Это можно продолжать проверять с увеличением на +14 на каждом шагу.

Таким образом, общее количество корней у Роголеба на начало битвы было:

**X = 2670 (при N = 1), 2684 (при N = 2)** и далее. А соответствующее количество N можно подставлять, анализируя, установка при этом должна завершаться на последнем корне.

Окончательный ответ:
Общим способом, можно сказать так: корней у Роголеба было 2670 и далее, если N увеличивается.