Как доказать неравенство из двух переменных?

Чтобы доказать неравенство \( x^2 - xy + y^2 \geq 0 \) для любых значений \( x \) и \( y \) и показать, что оно равно нулю только при \( x = 0 \) и \( y = 0 \), можно следовать шагам, описанным ниже:

Шаг 1: Анализ выражения

Начнем с выражения \( x^2 - xy + y^2 \). Это квадратичная форма, зависящая от переменных \( x \) и \( y \). Мы можем попытаться представить её в более понятной форме.

Шаг 2: Применение метода дискриминанта

Можно рассматривать данное выражение как квадратный trinomial по одной из переменных, например, по \( x \):

\[
x^2 - xy + y^2 = a \cdot x^2 + b \cdot x + c
\]

где \( a = 1 \), \( b = -y \), \( c = y^2 \). Теперь найдем дискриминант этого уравнения:

\[
D = b^2 - 4ac = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot y^2 = y^2 - 4y^2 = -3y^2
\]

Шаг 3: Анализ дискриминанта

Дискриминант \( D \) показывает, что:

- Если \( y \neq 0 \), то \( D < 0 \), значит уравнение не имеет действительных корней и, соответственно, выражение \( x^2 - xy + y^2 \) не может принимать значение ноль для \( x \) в данном случае.
- Если \( y = 0 \), то \( x^2 - 0 \cdot x + 0^2 = x^2 \geq 0 \), и оно равно нулю только при \( x = 0 \).

Шаг 4: Подсчет выражения

Посмотрим на выражение целиком:

\[
x^2 - xy + y^2 = \frac{3}{4} \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} y^2
\]

Здесь мы представили его как сумму квадратов, которая всегда неотрицательна. Квадрат любого действительного числа всегда не может быть меньше нуля, отсюда следует, что:

\[
\frac{3}{4} \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 \geq 0
\]
\[
\frac{3}{4} y^2 \geq 0
\]

Шаг 5: Обобщение

Таким образом, сумма \( \frac{3}{4} \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} y^2 \) также будет больше или равна нулю для любых \( x \) и \( y \).

Шаг 6: Условия на равенство

Равенство \( x^2 - xy + y^2 = 0 \) выполняется только тогда, когда оба слагаемых равны нулю, то есть:

\[
x - \frac{y}{2} = 0 \quad \text{и} \quad y = 0
\]

Это означает, что \( y = 0 \) влечет за собой \( x = 0 \), и наоборот.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что для любых \( x \) и \( y \):

\[
x^2 - xy + y^2 \geq 0,
\]

причем равенство выполняется только в случае, когда \( x = 0 \) и \( y = 0 \). ในการสรุปการกล่าวนี้เราได้พิจารณาและวิเคราะห์อสมการที่กำหนดอย่างระมัดระวังและมี
หลักฐานชัดเจน.