Как решить задачу про параболу и прямую?

Чтобы определить при каких значениях параметра k прямая f(x) = kx пересекает параболу только в одной точке ниже оси Ox, нужно проанализировать уравнение, представляющее пересечение параболы и прямой. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Шаг 1: Определим уравнение пересечения

Рассматриваем уравнение параболы y = (x + 1)² - 4 и уравнение прямой f(x) = kx. Мы хотим решить уравнение:

(x + 1)² - 4 = kx.

Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду

Распишем уравнение:

(x + 1)² - 4 - kx = 0.

Это приводит нас к квадратному уравнению:

x² + (2 - k)x + (1 - 4) = 0,

или, упрощая:

x² + (2 - k)x - 3 = 0.

Шаг 3: Найдем дискриминант

Теперь найдем дискриминант (D) этого квадратного уравнения:

D = (2 - k)² - 4  1  (-3)
  = (2 - k)² + 12.

Шаг 4: Условия для одной точки пересечения

Для того чтобы прямая пересекала параболу в одной точке, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю:

(2 - k)² + 12 = 0.

Однако, поскольку (2 - k)² всегда неотрицательно (квадрат любого числа не может быть отрицательным), это уравнение не может выполняться. Это означает, что прямая f(x) = kx всегда будет пересекаться с параболой в двух точках, если k не является значением, при котором прямая не пересекает параболу.

Шаг 5: Определение пересечений ниже оси Ox

Сейчас нужно выяснить, если эта прямая может пересекать параболу в двух точках ниже оси Ox. Для этого необходимо, чтобы оба корня квадратного уравнения были отрицательными.
Используя неравенства, получим:

1. Корни уравнения x² + (2 - k)x - 3 = 0 будут обе меньше нуля при следующих условиях:
   - Сумма корней (которая равна -(2 - k)) должна быть положительной: 2 - k < 0, отсюда k > 2.
   - Произведение корней (которое равно -3) обязательно будет отрицательным, так как одно из значений должно быть положительным.

Шаг 6: Подведение итогов

Итак, при k > 2 прямая f(x) = kx пересекает параболу в двух точках, и эти точки находятся ниже оси Ox. 

Если же k = 2, то прямая проходит через касательную к параболе и тоже пересекает ее в одной точке. 

Таким образом, вывод: 

- Прямая f(x) = kx будет пересекать параболу y = (x + 1)² - 4 в одной точке (касательной) при k = 2.
- Прямые с k > 2 будут пересекаться в двух точках ниже оси Ox. 

Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите рассмотреть другие типы парабол, не стесняйтесь спрашивать!