Как найти область определения и решить уравнение?

Для решения уравнения 

( x^2 + 7x + 10 ) * √( 3x^2 - 10x + 3 ) = 15 - 2x - x^2 

и определения его области определения, нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Определяем область определения

Область определения уравнения зависит от двух частей:

1. **Корень**: √( 3x^2 - 10x + 3 ) 
2. **Рациональное выражение**: ( x^2 + 7x + 10 )

# 1.1 Корень

Чтобы выражение под корнем было неотрицательным, необходимо решить неравенство:

3x^2 - 10x + 3 ≥ 0 

Находим корни квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64 

Корни будут:

x₁ = (10 + √64) / (2 * 3) = 4 
x₂ = (10 - √64) / (2 * 3) = (10 - 8) / 6 = 1/3 

Теперь, строим числовую прямую и смотрим, при каких промежутках это выражение не отрицательно. 

Функция 3x^2 - 10x + 3 - это парабола, открытая вверх. Она будет неотрицательной в промежутках:

x ≤ 1/3 и x ≥ 4 

Записываем это в виде интервалов:

(-∞, 1/3] U [4, +∞)

# 1.2 Второе выражение

Теперь рассмотрим фактор ( x^2 + 7x + 10 ). Это выражение всегда положительно, так как его дискриминант D = 7^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9, следовательно, у него есть два корня:

x₁ = (-7 + √9) / 2 = -2
x₂ = (-7 - √9) / 2 = -5 

Таким образом, выражение ( x^2 + 7x + 10 ) всегда положительно для всех x, кроме промежутка (-5, -2).

Объединяя оба условия, мы получаем область определения уравнения как:

(-∞, -5) U (-5, -2) U (-2, 1/3] U [4, +∞)

Шаг 2: Упрощаем уравнение

Теперь, используем найденные значения для решения уравнения:

( x^2 + 7x + 10 ) * √( 3x^2 - 10x + 3 ) = 15 - 2x - x^2 

Переносим все элементы на одну сторону:

( x^2 + 7x + 10 ) * √( 3x^2 - 10x + 3 ) + 2x + x^2 + 15 = 0 

Шаг 3: Решение уравнения

Решение уравнения может быть сложным, так как включает корень. Для нахождения корней, возможно, необходимо подставить значение x из области определения и проверить совпадение с правой частью уравнения.

Результат

1. Область определения: 
(-∞, -5) U (-5, -2) U (-2, 1/3] U [4, +∞)

2. Для нахождения корней уравнения, нужно подставлять и тестировать значения x в каждом допустимом промежутке из области определения.

Для проверки корней возможно также потребуется численный метод или графический подход, если аналитическое решение оказывается сложным.

Обязательно проверьте, что полученные значения отвечают области определения. Если находите потенциальные корни, обязательно подставьте их обратно в оригинальное уравнение, чтобы убедиться, что слева и справа равенство выполняется.