Пишется ли частица do/does в придаточном предложении, Английского языка?

Нет, в придаточных вопросительных предложениях частица do/does не используется. В данном случае, правильное предложение будет: What will you do after Peter swims in the sea? Вопросительное предложение образуется путем инверсии подлежащего и вспомогательного глагола will, а вспомогательный глагол do/does не требуется. В данной конструкции, вспомогательный глагол does будет неправильным, так как используется для образования утвердительных предложений в настоящем времени третьего лица единственного числа (например: He does swim in the sea).