Как определить b, если один из корней урав. 4x^2-15x+b=0 это кв. другого?

Для нахождения значения \( b \) в квадратном уравнении \( 4x^2 - 15x + b = 0 \), если один из его корней является квадратом другого, предложим пошаговое решение.

**Шаг 1: Обозначим корни уравнения**

Пусть один из корней этого уравнения обозначим через \( r \). Тогда второй корень будет представлен как \( r^2 \). По теореме Виета для квадратного уравнения (основной закон алгебры), сумма корней \( r + r^2 \) равна \( -\frac{b_1}{a} \), а произведение корней \( r \cdot r^2 \) равно \( \frac{c}{a} \), где \( a = 4 \), \( b_1 = -15 \) и \( c = b \).

**Шаг 2: Применим теорему Виета**

Согласно первой теореме Виета:
\[
r + r^2 = \frac{15}{4}
\]
и согласно второй теореме Виета:
\[
r \cdot r^2 = \frac{b}{4}
\]

**Шаг 3: Преобразуем уравнение для нахождения r**

Запишем первое уравнение через \( r \):
\[
r^2 + r - \frac{15}{4} = 0
\]

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:
\[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{15}{4}\right) = 1 + 15 = 16.
\]

Так как дискриминант положителен, у данного уравнения два различных корня:
\[
r = \frac{-1 \pm 4}{2} = \frac{3}{2} \quad \text{и} \quad \frac{-5}{2}.
\]

Однако только положительный корень имеет смысл в контексте квадратных чисел, следовательно:
\[
r = \frac{3}{2}.
\]

**Шаг 4: Находим второй корень**
Теперь найдем второй корень:
\[
r^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.
\]

**Шаг 5: Подставляем корни обратно в формулы Виета**
Теперь подставим значения \( r \) и \( r^2 \) в формулу для произведения корней:
\[
r \cdot r^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{8}.
\]
По исходной формуле из теоремы Виета:
\[
\frac{b}{4} = \frac{27}{8}.
\]
Умножим обе стороны на 4:
\[
b = 4 \cdot \frac{27}{8} = \frac{108}{8} = \frac{27}{2}.
\]

**Шаг 6: Итог**

Таким образом, мы нашли значение \( b \), равное \(\frac{27}{2}\).

**Дополнительные замечания:**
- Возможно, вы заметили, что в данной задаче не проверяются отрицательные корни. Тем не менее, классическая интерпретация квадрата числа подразумевает использование только неотрицательных чисел.
- Применение теоремы Виета здесь показывает, как можно преобразовывать и связывать корни с параметрами квадратного уравнения. Такие методы широко используются в алгебре для решения более сложных задач.
- Также важно понимать, что если у вас есть какое-то ограничение на значение \( b \) (например, определенные условия задачи), следует ввести дополнительные проверки для удовлетворения этих условий.