Как решить систему уравнений: x+y+z=6; xy+yz+zx=11; xyz=6?

Чтобы решить систему уравнений 

1) x + y + z = 6,  
2) xy + yz + zx = 11,  
3) xyz = 6, 

мы можем использовать метод, который связывает эти уравнения с корнями кубического уравнения. 

Шаг 1: Создание кубического уравнения

Из данных уравнений мы заметим, что значения x, y и z можно рассматривать как корни некоторого кубического уравнения. Мы можем представить это уравнение в следующем виде:

t³ - (x+y+z) t² + (xy + yz + zx) t - xyz = 0.

Подставим значения из нашей системы:

t³ - 6t² + 11t - 6 = 0.

Шаг 2: Решение кубического уравнения

Теперь мы должны решить это кубическое уравнение. Для этого воспользуемся методом подбора, если необходимо, или можем применить более сложные методы, такие как формула Кардано. Для начала попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о делителях свободного члена.

Пробуем подставить некоторые значения t:

- При t = 1: 1³ - 6(1)² + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0. (Корень, найденный!)
- Далее можем делить наше уравнение на (t - 1) с помощью деления многочлена или синтетического деления.

Результатом деления будет:

t² - 5t + 6 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

t = (5 ± √(5² - 4*6)) / 2 = (5 ± √(25 - 24)) / 2 = (5 ± 1) / 2.

Таким образом, мы получаем два корня:

t = 6/2 = 3, и t = 4/2 = 2.

Шаг 3: Запись всех корней

Теперь у нас есть корни уравнения: t = 1, t = 2 и t = 3. Значит, x, y и z могут принимать из этих значений любые комбинации.

Шаг 4: Подсчет различных решений

Важно понять, что порядок выбора значений x, y и z не имеет значения в данном случае. Мы можем получить разные наборы (комбинации) этих значений. 

А именно, это будет:

- (1, 2, 3)
- (1, 3, 2)
- (2, 1, 3)
- (2, 3, 1)
- (3, 1, 2)
- (3, 2, 1)

Как видно, у нас есть всего 6 различных комбинаций (перестановок) корней, поскольку все они различны.

Вывод

Таким образом, количество различных решений данной системы уравнений равно 6. Это означает, что все три переменные могут принимать значения в различных порядках, оставаясь в рамках заданных условий. 

Таким образом, к нашему ответу добавляется общее количество различных перестановок корней. Ответ: **6** различных решений.