Как решить: Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345?

Давайте разберемся по пунктам, как Vasya может выписать число 12345 несколько раз так, чтобы получившееся большое число делилось на 41.

Шаг 1. Определите нужное число 
Васе нужно выписать число 12345 n раз, что можно выразить как:

    N = 12345  (10^(5n - 5) + 10^(5(n-1)) + ... + 10^0) 

Где 5 – это количество цифр в числе 12345. Чтобы упростить выражение, воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии:

    S = a  (r^n - 1) / (r - 1)

где a — первый элемент прогрессии (в данном случае 1), r — основание (10), n — количество членов прогрессии. Применяя это, получаем:

    N = 12345  (10^0 + 10^5 + 10^(52) + ... + 10^(5(n-1))) 
      = 12345  (10^(5n) - 1) / (10^5 - 1)

Шаг 2. Убедитесь в делимости на 41
Чтобы число N делилось на 41, нужно, чтобы

     (12345  (10^(5n) - 1)) / (10^5 - 1)

делилось на 41. Разделим все на 12345 и проверим, делится ли

    (10^(5n) - 1) / (10^5 - 1)

на 41. Заметим, что (10^(5n) - 1) делится на 41, если 10^(5n) делится на 41. 

Шаг 3. Найдите порядок числа 10 по модулю 41
Теперь найдем порядок числа 10 по модулю 41. Для этого нужно получить минимальное n, которое удовлетворяет:

    10^n ≡ 1 (mod 41)

Рассмотрим степени числа 10 по модулю 41:

- 10^1 = 10
- 10^2 = 100 ≡ 18 (mod 41)
- 10^3 = 10  18 = 180 ≡ 37 (mod 41)
- 10^4 = 10  37 = 370 ≡ 4 (mod 41)
- 10^5 = 10  4 = 40 ≡ -1 (mod 41)
- 10^10 = (10^5)^2 ≡ 1 (mod 41)

Порядок числа 10 по модулю 41 равен 10.

Шаг 4. Определите количество повторений
Теперь, чтобы число 10^(5n) делилось на 41, получается, что:

    5n должно быть кратно 10.

Это означает, что n должно быть кратно 2:

    n ≥ 2.

Ответ
Таким образом, чтобы получить наименьшее количество повторений числа 12345, Васе нужно выписать его минимум 2 раза. Значит, полученное число 1234512345 будет делиться на 41.

Проверка
Для проверки, давайте подставим:

    N = 1234512345

С помощью деления на 41, мы получаем:

    1234512345 / 41 = 30110030.

Таким образом, условия выполнены. Васе нужно выписать число 12345 как минимум 2 раза, чтобы получившееся число делилось на 41.