Задача с подвохом. По сколько монет нужно положить в каждую из 12 шкатулок?

Загадка с распределением копеек по шкатулкам на самом деле является интересным примером использования систем счисления и комбинаторики. Наташа смогла разделить свои 1000 копеек по 12 шкатулкам так, чтобы открыв ровно три из них, Вася мог получить любую сумму до 500 копеек. Как же ей это удалось?

Итак, давайте по пунктам разберёмся в системе, которую использует Наташа:

1. Основная идея
Наташа должна была распределить копейки так, чтобы сумма любых трёх шкатулок могла быть равна любой сумме от 0 до 500. Это можно сделать, если монеты в каждой шкатулке будут представлять собой степени числа 2, начиная от 0.

2. Распределение по шкатулкам
Пусть в каждой шкатулке будет столько копеек, сколько соответствует степени двойки:

- Шкатулка 1: 1 копейка (2^0)
- Шкатулка 2: 2 копейки (2^1)
- Шкатулка 3: 4 копейки (2^2)
- Шкатулка 4: 8 копеек (2^3)
- Шкатулка 5: 16 копеек (2^4)
- Шкатулка 6: 32 копейки (2^5)
- Шкатулка 7: 64 копейки (2^6)
- Шкатулка 8: 128 копеек (2^7)
- Шкатулка 9: 256 копеек (2^8)
- Шкатулка 10: 0 копеек
- Шкатулка 11: 0 копеек
- Шкатулка 12: 0 копеек

3. Как это работает?
Теперь давайте посмотрим, почему такая система позволяет получать любую сумму до 500 копеек:

- Наименьшая сумма, которую можно открыть, — это сумма всех выбранных шкатулок. Так как шкатулки содержат степени 2, мы можем комбинировать количество шкатулок, выбирая любые три из них, чтобы получить нужную сумму. 
- Например, если Вася хочет получить 7 копеек (1+2+4), он может открыть шкатулки с 1, 2 и 4 копейками.
- Все возможные суммы, которые могут быть получены, всегда будут меньше или равны (1+2+4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256) = 511, а поскольку требуется получить суммы до 500, данной системы достаточно!

4. Итог
Таким образом, Наташа сконструировала свою систему по принципу бинарного представления чисел, в которой каждое значение зависит от того, какие шкатулки были выбраны. Она распределила свои копейки с использованием сил двух, оставив некоторые шкатулки пустыми, чтобы при необходимости Вася мог выбрать их без изменения результата.

5. Примеры
- Если Вася выбирает шкатулки с 1, 2 и 0 (пустая), то итог будет 3.
- Если шкатулки 2, 4 и 8 — итог 14.
- Более сложный пример: комбинируя 256, 64 и 8, Вася получит 328.

В заключение, система, которую разработала Наташа, позволяет динамически адаптироваться под любые просьбы Васи в пределах заданного диапазона благодаря принципам бинарного счета. И хотя это задача с подвохом, она открывает доступ к разнообразным математическим концепциям, связанным с комбинаторикой и численностью.