Чему равны координаты проекции вектора на плоскость?

Чтобы найти проекцию вектора на плоскость, заданную тремя точками, необходимо выполнить несколько шагов. В вашем случае вектор m и плоскость, заданная точками A, B и C, помогут нам в этом. Давайте разберем процесс по пунктам.

Шаг 1: Определение нормали плоскости

Сначала нам нужно найти нормальный вектор к плоскости, которая проходит через три заданные точки. Это можно сделать с помощью векторного произведения.

1. Найдем два вектора, которые находятся в плоскости. 
   - Вектор AB = B - A = (-3 + 4; -4 + 3; 7 - 4) = (1; -1; 3)
   - Вектор AC = C - A = (-3 + 4; 0 + 3; 5 - 4) = (1; 3; 1)

2. Далее, вычислим нормальный вектор N через векторное произведение AB и AC:
   N = AB × AC.

Векторное произведение можно вычислить используя определитель:

```
N = |   i   j   k
      1  -1   3
      1   3   1 |
```

Решаем определитель:

- i: (-1*1 - 3*3) = -1 - 9 = -10
- j: -(1*1 - 3*1) = -(1 - 3) = 2
- k: (1*3 - (-1)*1) = 3 + 1 = 4

Итак, нормальный вектор будет:

N = (-10; 2; 4)

Шаг 2: Нормализация нормального вектора

Для удобства можно нормализовать нормальный вектор N, чтобы получить единичный вектор:

Напоминаем, что длина вектора N:

Length(N) = sqrt((-10)² + 2² + 4²) = sqrt(100 + 4 + 16) = sqrt(120) = 2*sqrt(30)

Единичный нормальный вектор n:

n = ( -10 / (2*sqrt(30)); 2 / (2*sqrt(30)); 4 / (2*sqrt(30))) = (-5/sqrt(30); 1/sqrt(30); 2/sqrt(30))

Шаг 3: Проекция вектора на нормаль

Теперь мы можем найти проекцию вектора m = (9; 3; -9) на нормаль n.

Формула для проекции вектора a на вектор b:

P = (a • b) / (b • b) * b 

где • – скалярное произведение.

Сначала найдем скалярное произведение m и n:

```
m • n = (9 * (-5/sqrt(30))) + (3 * (1/sqrt(30))) + (-9 * (2/sqrt(30))) 
       = (-45/sqrt(30)) + (3/sqrt(30)) + (-18/sqrt(30)) 
       = (-60/sqrt(30))
```

Теперь найдем скалярное произведение n с самим собой:

```
n • n = (-5/sqrt(30))² + (1/sqrt(30))² + (2/sqrt(30))² 
       = (25/30) + (1/30) + (4/30) 
       = (30/30) = 1
```

Теперь можем найти проекцию:

```
P_n = (-60/sqrt(30)) / 1 * n 
    = (-60/sqrt(30)) * ( -5/sqrt(30); 1/sqrt(30); 2/sqrt(30)) 
    = (300/30; -60/30; -120/30) 
    = (10; -2; -4)
```

Шаг 4: Находим проекцию на плоскость

Чтобы найти проекцию вектора m на плоскость, нам нужно вычесть проекцию на нормаль:

```
P_plane = m - P_n
          = (9; 3; -9) - (10; -2; -4) 
          = (9 - 10; 3 + 2; -9 + 4) 
          = (-1; 5; -5)
```

Ответ:

Таким образом, координаты проекции вектора m на заданную плоскость равны (-1; 5; -5).